题目内容
【题目】如图,在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=(∠BAC﹣∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C.
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
①根据BD垂直FD,FH⊥BE和∠FGD=∠BGO,证明结论正确;
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;
③证明∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,根据①的结论,证明结论正确;
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确.
①由题意可知,∠FDG=∠BOG=90°,
∵∠FGD=∠BGO,
∴∠DBE=∠F,故①正确;
②∵∠BAF=∠ABC+∠C=2∠EBC+∠C,
∴∠BAF+∠C=2(∠EBC+∠C)=2∠BEF,故②正确;
③∵∠ABD=90°-∠BAC,
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC,
∵∠CBD=90°-∠C,
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE,
由①得,∠DBE=∠F,
∴∠F=∠BAC-∠C-∠F,
∴∠F=(∠BAC﹣∠C),故③正确;
④∵∠AEB=∠EBC+∠C,∠EBC =∠ABE,
∴∠AEB=∠ABE+∠C,
又∵BD⊥FC,∠DBE=∠F,
∴∠FGD=∠FEB,
∴∠BGH=∠FGD=∠FEB=∠ABE+∠C,故④正确;
故正确的是①②③④.
故选D.
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