Question

点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x²+3y²=4（x≠±1）的图象上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，那么点P的坐标为

（

5

3

，±

33

9

）

．

Answer 1

分析：设点P的坐标为（x₀，y₀），则根据函数图象上点的坐标特征知x₀²+3y₀²=4．首先，根据点A的坐标求得点B的坐标为（1，-1）；然后，利用三角形的面积公式S=

1

2

absinC列出等式

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN．即

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

；再根据两点间的距离公式求得

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

．易求y₀的值．

解答：解：∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，-1）．
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀），
则

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

，
∴

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

．
∵点P在x²+3y²=4（x≠±1）的图象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±

33

9

，
∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（

5

3

，±

33

9

）．
故答案是：（

5

3

，±

33

9

）．

点评：本题考查了一次函数综合题．此题涉及到的知识点有关于x、y轴对称的点的坐标特征，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式等．解题时，注意利用“数形结合”的性质，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．