题目内容
【题目】阅读下列材料，并解决问题：
材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”如122，
；
材料2：若一个数
能够写成
均为正整数，且
，则我们称这样的数为“不完全平方差数”，
最大时，我们称此时的
、
为的一组“最优分解数”，井规定
．例如
，因为：
，
，
，所以
；
（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；
（2）若一个小于300的三位数
其中
，
，且
均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有
的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）所有
的最大值为
．
【解析】
（1）设三位数百位数字是
，个位数字是
，结合题意表示十位数字，表示这个倍差数，把这个倍差数分解因式可得答案．
（2）由三位数
小于300，
，得到
的值，根据情况讨论，可得答案．
解：（1）设三位数百位数字是，个位数字是，
∵十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，
∴十位数字是
，
能被3整除，
∴任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；
（2）∵三位数小于300，，
，
又∵是“倍差数”，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
，
而
不是“不完全平方差数”，
．
∴有的最大值．
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