Question

【题目】已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED//BC，EF//AC．

(1)求证：BE=DE；

(2)当AB=AC时，试说明四边形EFCD为菱形．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．

【解析】

（1）根据BD是△ABC的角平分线，可得∠EBD=∠DBC，ED//BC，可知∠EDB=∠DBC，通过等量代换知∠EBD=∠EDB，故BE=DE；

（2）通过已知易证：四边形EFCD为平行四边形，可知∠EFB=∠C，又因为∠ABC=∠C，可得∠ABC=∠EFB，即BE=EF，通过（1）的结论，即可证得EF=DE，利用有两条邻边相等的平行四边形为菱形，即可证明．

解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠EBD=∠DBC，

又∵ED//BC，

∴∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），

∴∠EBD=∠EDB（等量代换）．

∴BE=DE．

（2）∵ED//BC，EF//AC，

∴四边形EFCD是平行四边形，

∴∠EFB=∠C，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C

∴∠ABC=∠EFB，

∴BE=EF，

由（1）知BE=DE，

∴EF=DE．

∴四边形EFCD为菱形．