Question

28、如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S_△ABC和S_△ABG，如果存在点P，能使得S_△ABC=S_△ABG，求∠C的取值范围．

Answer 1

分析：（1）证得△ACP≌△BCP即可；
（2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF即可；
（3）假设存在点P，能使得S_△ABC=S_△ABG，由（2）得到的AE=BF，则新三角形ABG也为等腰三角形，根据底边都为AB，面积相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE为等腰三角形，则底角∠C为锐角，即可得到∠C的取值范围．

解答：证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△BCP．
∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．

（2）∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，
∴△ACE≌△BCF．
∴AE=BF．

（3）解：由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，
∴S_△ABC=S_△ABG．
∴AE=AC．
①当∠C为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；
②当∠C为锐角时，∠A=90°-1/2∠C，而∠CAE＜∠A，要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA，
此时，∠CAE=180°-2∠C，
只须180°-2∠C＜90°-1/2∠C，解得60°＜∠C＜90°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．需注意已证得条件在以后证明中的应用，以及分情况进行讨论等情况．