Question

【题目】某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放． 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案，
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案的越“优”．
（Ⅰ） 若 ，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（Ⅱ） 若 ，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）2个A级混合样本达标的概率是 ，… 所以根据对立事件原理，2个A级混合样本不达标的概率为 ；…
（II）方案一：逐个检测，检测次数为ξ=4；
方案二：由（I）知，每组2个样本的检测时，若达标则检测次数为1，概率为 ；
若不达标则检测次数为3，概率为 ；
故方案二的检测次数为ξ2 ， 则ξ2可能取值为2，4，6；
其概率分布列如下，

ξ2	2	4	6
P

可求得方案二的期望为 ；…
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4 ，
则ξ4可取值为1，5；其概率分布列如下：

ξ4	1	5
P

可求得方案四的期望为 ，…
比较可得E（ξ4）＜E（ξ2）＜4，故选择方案四最“优”；…
（III）方案三：设化验次数为η3 ， 则η3可取值为2，5；
其概率分布为：

η3	2	5
P	p3	1﹣p3

数学期望为 ；…
方案四：设化验次数为η4 ， 则η4可取值为1，5；
其概率分布为：

η4	1	5
P	p4	1﹣p4

数学期望为 ；…
由题意得E（η3）＜E（η4），所以5﹣3p3＜5﹣4p4 ， 解得p＜ ；
所以当 时，方案三比方案四更“优”
【解析】（Ⅰ）计算2个A级混合样本达标的概率，再根据对立事件原理求得它们不达标的概率；（II）计算方案一：逐个检测，检测次数为ξ=4； 方案二：检测次数为ξ2 ， 则ξ2可能取值为2，4，6，求概率分布列，计算数学期望；
方案四：混在一起检测，检测次数为ξ4 ， 则ξ4可取值为1，5，求概率分布列，计算数学期望；
比较得出选择方案几最“优”；（III）方案三：化验次数为η3 ， 则η3可取值为2，5，求概率分布列，计算数学期望；
方案四：化验次数为η4 ， 则η4可取值为1，5，求概率分布，计算数学期望；
由题意列不等式E（η3）＜E（η4），求出p的取值范围．