Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴是直线x=-

b

2a

）

Answer 1

分析：（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2））①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：S_PAD=S_梯形OADM-S_AOP-S_DMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：
（1）当∠P₁DA=90°时；（2）当∠P₂AD=90°时；（3）当AP₃D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．
∴-

-1

2a

=-2，
∴a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x2-x+3．
∴D（-2，4）．

（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线y=-

1

4

x2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．（4分）
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，
则DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S_三角形PAD=S_梯形OADM-S_三角形AOP-S_三角形DMP
=

1

2

(DM+OA)•OM-

1

2

OA•OP-

1

2

DM•MP
=

1

2

(2+6)×4-

1

2

×6×t-

1

2

×2×(4-t)
=12-2t（6分）
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）²+18
∴当t=3时，W有最大值，W_最大值=18．
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P₁DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，
∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，AD=

2

DE=4

2

，
∴∠P₁DE=∠P₁DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP₁=∠MDE-∠P₁DE=90°-45°=45度．
∴P₁M=DM=2，P1D=

2

DM=2

2

．
此时

OC

P1D

=

OA

AD

=

3 2

4

，
又因为∠AOC=∠P₁DA=90°，
∴Rt△ADP₁∽Rt△AOC，
∴OP₁=OM-P₁M=4-2=2，
∴P₁（0，2）．
∴当∠P₁DA=90°时，存在点P₁，使Rt△ADP₁∽Rt△AOC，
此时P₁点的坐标为（0，2）
②当∠P₂AD=90°时，则∠P₂AO=45°，
∴P2A=

OA

cos45°

=6

2

，
∴

P2A

OA

=

6 2

6

=

2

．
∵

AD

OC

=

4 2

3

，
∴

AD

OC

≠

P2A

OA

．
∴△P₂AD与△AOC不相似，此时点P₂不存在．（12分）（结论（1分），过程1分）
③当∠AP₃D=90°时，以AD为直径作⊙O₁，则⊙O₁的半径r=

AD

2

=2

2

，
圆心O₁到y轴的距离d=4．
∵d＞r，
∴⊙O₁与y轴相离．
不存在点P₃，使∠AP₃D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．

点评：此题综合性较强，考查函数基本性质，三角形相似的性质，辅助线的作法，探究性问题，还运用分类讨论思想，难度大．