题目内容

【题目】阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:

如图1ABC中,若AB=5AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长ADE,使得DE=AD,再连接BE(或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到EBD),把ABAC2AD集中在ABE中,利用三角形的三边关系可得2AE8,则1AD4

感悟:解题时,条件中若出现中点”“中线字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

1)问题解决:受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在ABC中,DBC边上的中点,DEDFDEAB于点EDFAC于点F,连接EF

①求证:BE+CFEF②若∠A=90°,探索线段BECFEF之间的等量关系,并加以证明;

2)问题拓展:如图3,在平行四边形ABCD中,AD=2ABFAD的中点,作CEAB,垂足E在线段AB上,联结EFCF,那么下列结论①∠DCF=BCDEF=CFSBEC=2SCEF④∠DFE=3AEF.中一定成立是 (填序号).

图1 图2 图3

【答案】(1)①证明见解析;②BE2+CF2=EF2;(2)①②④.

【解析】试题分析:1可按阅读理解中的方法构造全等,把CFBE转移到一个三角形中,利用三角形的三边关系求解即可;②由∠A=90°可得∠EBC+FCB=90°由①中的全等得到∠C=CBG;即可得ABC+CBG =90°EBG=90°由此可得可得三边之间存在勾股定理关系;2ABCD中,AD=2ABFAD的中点,可得AF=FD=CD即可得DFC=DCF;再由ADBC根据平行线的性质可得DFC=FCB所以DCF=BCF根据角平分线的定义可得DCF=BCD正确;延长EF,交CD延长线于M根据已知条件易证AEF≌△DMF,根据全等三角形的性质可得FE=MFAEF=M又因CEAB可得AEC=90°所以AEC=ECD=90°FM=EF根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FC=FM②正确;③由EF=FM可得SEFC=SCFM又因MCBE即可得SBEC2SEFC,所以SBEC=2SCEF错误,即③错误设∠FEC=x,则∠FCE=x所以DCF=DFC=90°x根据三角形外角的性质可得EFC=180°2x所以EFD=90°x+180°2x=270°3x再由AEF=90°x即可得DFE=3AEF正确.

试题解析:

延长FDG,使得DG=DF,连接BGEG.(或把CFD绕点D逆时针旋转180°得到BGD),

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF

∴△BDG≌△CDF,

∴CF=BG

DEDFDF=DG

EF=EG

BEG中,BE+BGEG,即BE+CFEF

②若∠A=90°,则∠EBC+FCB=90°

由①知∠FCD=DBGEF=EG

∴∠EBC+DBG=90°,即∠EBG=90°

∴在RtEBG中,BE2+BG2=EG2

BE2+CF2=EF2

2①∵FAD的中点,

∴AF=FD

∵在ABCD中,AD=2AB

∴AF=FD=CD

∴∠DFC=∠DCF

∵AD∥BC

∴∠DFC=∠FCB

∴∠DCF=∠BCF

∴∠DCF=BCD,故此选项正确;

②延长EF,交CD延长线于M

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD

∴∠A=∠MDF

∵FAD中点,

∴AF=FD

在△AEF和△DFM中,

∴△AEF≌△DMFASA),

∴FE=MF∠AEF=∠M

∵CE⊥AB

∴∠AEC=90°

∴∠AEC=∠ECD=90°

∵FM=EF

∴FC=FM,故②正确;

③∵EF=FM

∴SEFC=SCFM

∵MCBE

∴SBEC2SEFC

SBEC=2SCEF错误;

④设∠FEC=x,则∠FCE=x

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x

∴∠EFC=180°﹣2x

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x

∵∠AEF=90°﹣x

∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确.

故正确答案为:①②④.

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