题目内容
【题目】阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
(1)问题解决:受到(1)的启发,请你证明下面命题:如图2,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.
①求证:BE+CF>EF;②若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系,并加以证明;
(2)问题拓展:如图3,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,联结EF、CF,那么下列结论①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.中一定成立是 (填序号).
图1 图2 图3
【答案】(1)①证明见解析;②BE2+CF2=EF2;(2)①②④.
【解析】试题分析:(1)①可按阅读理解中的方法构造全等,把CF和BE转移到一个三角形中,利用三角形的三边关系求解即可;②由∠A=90°,可得∠EBC+∠FCB=90°,由①中的全等得到∠C=∠CBG;即可得∠ABC+∠CBG =90°,即∠EBG=90°,由此可得可得三边之间存在勾股定理关系;(2)①在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,可得AF=FD=CD,即可得∠DFC=∠DCF;再由AD∥BC,根据平行线的性质可得∠DFC=∠FCB,所以∠DCF=∠BCF,根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD,①正确;②延长EF,交CD延长线于M,根据已知条件易证△AEF≌△DMF,根据全等三角形的性质可得FE=MF,∠AEF=∠M,又因CE⊥AB,可得∠AEC=90°,所以∠AEC=∠ECD=90°,因FM=EF,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FC=FM,②正确;③由EF=FM可得S△EFC=S△CFM,又因MC>BE,即可得S△BEC<2S△EFC,所以S△BEC=2S△CEF错误,即③错误;④设∠FEC=x,则∠FCE=x,所以∠DCF=∠DFC=90°﹣x,根据三角形外角的性质可得∠EFC=180°﹣2x,所以∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,再由∠AEF=90°﹣x,即可得∠DFE=3∠AEF,④正确.
试题解析:
延长FD到G,使得DG=DF,连接BG、EG.(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD),
∵BD=CD,∠BDG=∠CDF,
∴△BDG≌△CDF,
∴CF=BG,
∵DE⊥DF,DF=DG,
∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,即BE+CF>EF.
②若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,
由①知∠FCD=∠DBG,EF=EG,
∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,
∴在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,
∴BE2+CF2=EF2;
(2)①∵F是AD的中点,
∴AF=FD,
∵在ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
∴∠DCF=∠BCD,故此选项正确;
②延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A=∠MDF,
∵F为AD中点,
∴AF=FD,
在△AEF和△DFM中, ,
∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴FE=MF,∠AEF=∠M,
∵CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ECD=90°,
∵FM=EF,
∴FC=FM,故②正确;
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM,
∵MC>BE,
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误;
④设∠FEC=x,则∠FCE=x,
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x,
∴∠EFC=180°﹣2x,
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x,
∵∠AEF=90°﹣x,
∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确.
故正确答案为:①②④.
【题目】养成良好的早锻炼习惯,对学生的学习和生活非常有益某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况,校政教处在七年级随机抽取了部分学生,并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间分钟进行了调查现把调查结果分为A,B,C,D四组,如下表所示;同时,将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
组别 | 早锻炼时间 |
A | |
B | |
C | |
D |
请根据以上提供的信息,解答下列问题:
扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为______;
补全频数分布直方图;
已知该校七年级共有1200名学生,请你估计这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟.