Question

如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据AB的长结合三角函数的关系可得出AC的长度．
（2）根据矩形的对角线互相平分可得出△OBC为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出∠AOB的度数．
（3）分别求出△OBC和△BCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4．

（2）在矩形ABCD中，
∴AO=OB=2，
又∵AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．

（3）由勾股定理，得BC=

42-22

=2

3

，
s△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
s△BOC=

1

2

S△ABC=

3

，
所以菱形OBEC的面积是2

3

．

点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键．