题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(﹣8,0),B(0,﹣6)两点.

(1)求出直线AB的函数解析式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得SPDE= SABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:设直线AB的函数解析式为y=kx+b,

把A(﹣8,0),B(0,﹣6)代入得 ,解得

所以直线AB的解析式为y=﹣ x﹣6


(2)解:在Rt△AOB中,AB= =10,

∵∠AOB=90°,

∴AB为⊙M的直径,

∴点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),

∵MC∥y轴,MC=5,

∴C(﹣4,2),

设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+2,

把B(0,﹣6)代入得16a+2=﹣6,解得a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣ (x+4)2+2,即y=﹣ x2﹣4x﹣6


(3)解:存在.

当y=0时,﹣ (x+4)2+2=0,解得x1=﹣2,x2=﹣4,

∴D(﹣6,0),E(﹣2,0),

SABC=SACM+SBCM= 8CM=20,

设P(t,﹣ t2﹣4t﹣6),

∵SPDE= SABC

(﹣2+6)|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20,

即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1,

当﹣ t2﹣4t﹣6=1,解得t1=﹣4+ ,t2=﹣4﹣ ,此时P点坐标为(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,0)

当﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1,解得t1=﹣4+,t2=﹣4﹣ ;此时P点坐标为(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,0)

综上所述,P点坐标为(﹣4+ ,1)或(﹣4﹣ ,0)或(﹣4+ ,﹣1)或(﹣4﹣ ,0)时,使得SPDE= SABC


【解析】(1)利用待定系数法可求出直线AB的解析式;(2)先利用勾股定理计算出AB=10,再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径,则点M为AB的中点,M(﹣4,﹣3),则可确定C(﹣4,2),然后利用顶点式求出抛物线解析式;(3)通过解方程﹣ (x+4)2+2=0得到D(﹣6,0),E(﹣2,0),利用SABC=SACM+SBCM , 可求出SABC=10,设P(t,﹣ t2﹣4t﹣6),所以 (﹣2+6)|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20,然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标.

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