题目内容

如图,正比例函数y=2x与反比例函数y=
kx
(k>0)
的图象相交于A、C两点,过精英家教网点A作AD垂直x轴,垂足为D,过点C作CB垂直x轴,垂足为B,连接AB和CD.已知点A的横坐标为2.
(1)求k的值;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(3)P、Q两点是坐标轴上的动点(P为正半轴上的点,Q为负半轴上的点),当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是矩形时,求P、Q两点的坐标.
分析:(1)把点A的横坐标代入正比例函数解析式可得点A的纵坐标,把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值;
(2)易得四边形ABCD的对角线互相平分,那么是平行四边形;
(3)若以AC为边得到的矩形,P,Q两点不在坐标轴上;以AC为对角线得到的矩形,可以AC为直径画一个圆,看圆与坐标轴的交点即可.
解答:精英家教网解:(1)当x=2时,由y=2x得y=4,
∴k=8(4分)

(2)∵A、O、C在一条直线上,A,C在反比例函数和正比例函数的交点处,
∴点A和点C关于点O中心对称,
∴AO=OC,BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形(或者解方程组y=2x和y=
8
x
,求得C点的坐标为(-2,-4)也可)(4分)

(3)∵以AC为边的四边形是矩形时,点P、Q分别在x轴和y轴上时,此时不可能;
∴只能以AC为矩形的对角线,此时P、Q分别在x轴的正、负半轴上或者在y轴的正、负半轴上.
AO=
22+42
=2
5

∴以O为圆心,2
5
为半径画圆与坐标轴的交点即为所求的点.P(2
5
,0),Q(-2
5
,0)
或者P(0,2
5
),Q(0,-2
5
)
.(4分)
点评:用到的知识点为:点在函数解析式上,就适合这个函数解析式;正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称;直径所对的圆周角是90°.
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