题目内容
【题目】已知：等边△ABC中，点E为△ABC内一点.
（1）如图1，联结AE、BE并延长分别与BC、CA边交于点D、F。如果∠AEB=120°，求证：△ABD
△BCF。
（2）如图2、以AE为一边作等边△AEF，联结BE、CF，求证：BE=CF.
（3）如图3、点D为BC的中点，联结BE、CE,若∠BEC=120°，联结AE、DE,求证：AE=2DE.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解.
【解析】
（1）由∠AEB=120°，得到∠BAE+∠ABE=60°，即可得到∠BAE=∠CBF，然后利用ASA证明△ABD≌△BCF即可；
（2）由等边三角形△ABC、△AEF，得到AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=60°，则得到∠BAE=∠CAF，然后证明△ABE≌△ACF，即可得到结论成立；
（3）把△ABE逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，延长ED至点G，使得ED=DG，连接CG. 由旋转的性质，得△ABE≌△ACF，且△AEF时等边三角形；由∠BEC=120°，得到∠EBD+∠ECD=60°，根据角的等量代换得到∠ECF=∠ECG=60°，然后得到△ECG≌△ECF，得到EG=EF=AE，即可得到AE=2ED.
证明：（1）如图，
在等边△ABC中，有AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠AEB=120°，
∴∠BED=180°
120°=60°，
∴∠BAE+∠ABE=60°，
∵∠CBF+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABD≌△BCF（ASA）；
（2）如图，
∵△ABC和△AEF是等边三角形，
∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE=CF；
（3）如图，把△ABE逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，延长ED至点G，使得ED=DG，连接CG.
由旋转的性质，得：△ABE≌△ACF，且△AEF时等边三角形，
∴AE=AF=EF，BE=CF，∠ABE=∠ACF，
∵∠BEC=120°，
∴∠EBD+∠ECD=60°，
∵∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ECD=∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE=∠ECD+∠ACE=∠ACB=60°，
∴∠ECF=60°.
∵ED=DG，∠BDE=∠CDG，BD=CD，
∴△BDE≌△CDG，
∴BE=CG=CF，∠EBD=GCD，
∴∠GCD+∠ECD=∠EBD+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠ECG=60°，
∴∠ECF=∠ECG=60°，
在△ECG和△ECF中，
，
∴△ECG≌△ECF，
∴EG=EF=AE，
∵EG=2ED，
∴AE=2ED.
