Question

（1998•四川）已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆O的内接四边形ABCD的边AB切小圆O于点P，两条对角线AC、BD相交于点Q，AQ和AD的长是方程x²-7x+12=0的两根，小圆O的半径等于CD长的一半，AK是大圆的直径．
（1）求证：∠BAK=∠CAD；
（2）求sin∠ADQ的值．

Answer 1

分析：（1）连接OP，则OP⊥AB，AP=BP，再根据AO=OK，得BK=2OP，根据CD=2OP，得BK=CD，

BK

=

CD

，从而证出∠BAK=∠CAD；
（2）根据AK是大圆O的直径，得∠ABK=90°，∠BAK+∠BKA=90°，再根据∠BAK=∠CAD，∠ADB=∠AKB，∠CAD+∠ADB=90°，得∠AQD=90°，sin∠ADQ=

AQ

AD

，最后根据AQ，AD是方程x²-7x+12=0的两根，求出AQ、AD，再代入求值即可．

解答：解：（1）连接OP，
∵AB与小圆O线切，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP，
∵AO=OK，
∴BK=2OP，
∵小圆O的半径等于CD的一半，
∴CD=2OP，
∴BK=CD，
∴

BK

=

CD

，
∴∠BAK=∠CAD；

（2）AK是大圆O的直径，
∴∠ABK=90°，
∴∠BAK+∠BKA=90°，
∵∠BAK=∠CAD，∠ADB=∠AKB，
∴∠CAD+∠ADB=90°，
∴∠AQD=90°，
∴sin∠ADQ=

AQ

AD

，
∵AQ，AD是方程x²-7x+12=0的两根，
∴AQ=3，AD=4，
∴sin∠ADQ=

3

4

．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是三角形中位线定理、圆和切线的有关性质、三角函数等，关键是做出辅助线，综合运用有关性质．