Question

已知A、B、C是半径为2的圆O上的三个点，其中点A是弧BC的中点，连接AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE.

（1）求证：OD=OE；
（2）连接BC，当BC=时，求∠DOE的度数.

Answer 1

(1)详见解析；（2）∠DOE=45°.

试题分析：(1)连接OA,可考虑证明△AOD≌△COE，有弧AB=弧AC,可得：∠AOB=∠AOC，在等腰⊿AOB和等腰⊿AOC中，两顶角相等，所以它们的底角也相等，从而可得：∠BAO=∠ACO ，再结合题中条件：OA=OC,AD=CE,根据“SAS”可证明△AOD≌△COE，从而得证.(2)如图2，根据垂径定理BF=CF,由勾股定理求得OF=,进而求得∠AOB=45°,由△AOD≌△COE，可得∠AOD=∠COE，再通过等量变换，即可求出∠DOE的度数.

试题解析：解：（1）证明：连接OA、OB、OC，
∵点A是弧BC的中点，∴∠AOB=∠AOC
∵OA="OC" =OB, ∴∠ABO=∠BAO=∠OAC=∠ACO 
∵AD=CE ∴△AOD≌△COE   ∴OD=OE        4分
(2)解：连接BC交OA于点F
∵AB=AC ∴OA⊥BC ∴BF=
在Rt△BFO中，∴BF=OF∴∠AOB=45°∵△AOD≌△COE∴∠AOD=∠COE
∴∠BOD=∠AOE   ∴∠DOE=∠AOB=45°        8分