Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/S的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/S的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）四边形QAPC的面积有什么特点？

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质列方程解答．

解答：解：（1）设t=x秒时，
△QAP为等腰直角三角形即QA=AP，则t秒后AQ=DA-t，
即AQ=6-t，AP=2t，
AQ=AP，
即6-t=2t，
解得t=2秒；

（2）以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，
则△QAP∽△ABC，

6-t

2t

=

12

6

，
解得t=1.2；
②△PAQ∽△ABC，

6-t

6

=

2t

12

，
解得t=3，
当t为1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似；

（3）四边形QAPC的面积=S_△QAC+S_△APC=

1

2

×12×（6-t）+

1

2

×2t×6=36，
为定值，四边形QAPC的面积始终保持不变．

点评：此题是一道动点问题，根据点的移动规律，设出未知量，结合等腰三角形的性质和相似三角形的性质列出关系式解答．