Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，2)任作一条与抛物线y＝ax2(a＞0)交于两点的直线，设交点分别为A，B，若∠AOB＝． (1) 判断A，B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由 (2) 确定抛物线y＝ax2(a＞0)的解析式 (3) 当△AOB的面积为时，求直线AB的解析式

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：A，B两点纵坐标的乘积是一个确定的值．理由如下： 设直线AB的解析式为y＝kx＋2，由得ax2－kx－2＝0．③ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则x1，x2为方程③的两个实数根．所以x1＋x2＝，x1·x2＝－，所以y1·y2＝·＝a2·(x1·x2)＝a2·＝4，所以A，B两点纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值． 　　解题指导：将A，B两点的纵坐标表示出来，再根据其特点判断
(2)	解法1：作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N(如图)． 因为∠AOB＝，所以∠AOM＋∠BON＝．又因为∠OBN＋∠BON＝，所以∠AOM＝∠OBN，所以Rt△AOM∽Rt△OBN，所以＝(注：写为＝(同样正确)，所以＝，所以－x1·x2＝y1·y2，所以－＝4，a＝，所以所求抛物线的解析式为y＝x2． 　　解法2：当直线AB平行于x轴时(如图)，由抛物线的对称性可知，A，B两点关于y轴对称． 因为∠AOB＝，所以△AOB为等腰直角三角形，所以AP＝PB＝OP＝2，所以B(2，2)．将x＝2，y＝2代入y＝ax2，得a＝，所以所求抛物线的解析式为y＝x2． 　　解题指导：利用相似三角形对应线段成比例的性质，并将各点的坐标表示出来，即可解出a的值．
(3)	解：作AE⊥y轴于点E，BF⊥y轴于点F(如图)． 　　设直线AB的解析式为y＝kx＋2，所以AE＝MO，FB＝ON．因为S△AOB＝S△AOP＋S△BOP＝OP．AE＋OP·FB＝×2×(－x1＋x2)＝x2－x1＝＝＝＝2．又因为S△AOB＝4，所以＝2．由算术平方根的慨念，可得k2＝4，k＝±2．所以直线AB的解析式为y＝2x＋2或y＝－2x＋2． 　　解题指导：将△AOB的面积用直线AB的斜率表示出来，再根据△AOB的面积为4求解出斜率即可．