Question

24、如图，已知：点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
（1）如图1，当α=60°时，∠BCE=

120°

；
（2）如图2，当α=90°时，试判断∠BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值，并给出证明；
（3）如图3，当α=120°时，则∠BCE=

30°

．

Answer 1

分析：（1）可证明△ABD≌△ACE，∠B=∠ACE=60°，可得到∠BCE的度数；
（2）过D作DF⊥BC，交CA延长线于F，易证：△DCE≌△DAF，得∠BCE=∠DFA=45°；
（3）同理，当∠FDA=120°时，可证：：△DCE≌△DAF，得∠BCE=∠DFA=30°；

解答：解：（1）如图，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°
∴△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC=60°，AD=AE，∠BCA=60°，
即，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°；

（2）如图，过D作DF⊥BC，交CA或延长线于F，
∵∠BAC=∠FDC=90°，
∴∠ACB=∠DFC=45°，
∴在直角△FDC中：DF=DC，
又∵∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠CDE
又∵DA=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DFA=∠DCE，
∴∠DCE=45°；

（3）如图，同理当∠FDC=120°时，
∵∠ADE=∠BAC=120°，
∴∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC，∠ACB=30°，
∴∠FDA=∠CDE，∠DFC=∠ACB=30°，DF=DC，
又AD=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DCE=∠DFA=30°．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，作辅助线，将问题转化为两个全等的三角形中解答，是解答本题的关键，注意挖掘本题中的隐含条件，以及知识点的熟练应用．