题目内容
【题目】如图①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，点M和点N是动点，分别从A，C出发，以相同的速度沿AC，CB边上运动．
（1）判断DM与DN的关系，并说明理由；
（2）若AC=BC=2，请直接写出四边形MCND的面积；
（3）如图②，当点M运动到C点后，将改变方向沿着CB运动，此时，点N在CB延长线上，过M作ME⊥CD于点E，过点N作NF⊥DB交DB延长线于F，求证：ME=NF．
【答案】（1）DM与DN相等；（2）S四边形MCND=1；（3）见解析.
【解析】
（1）连接CD，判定△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN；
（2）依据△ADM≌△CDN，可得S△ADM=S△CDN，再根据S四边形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD进行计算即可；
（3）依据CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到△CME≌△BNF，进而得出ME=NF．
（1）DM与DN相等．
如图1，连接CD，
∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，
∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，
又∵点M和点N的移动速度相等，
∴CN=AM，
∴△ADM≌△CDN，
∴DM=DN；
（2）如图1，∵△ADM≌△CDN，
∴S△ADM=S△CDN，
∴S四边形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD=
S△ABC=××2×2=1；
（3）如图2，∵点M和点N的移动速度相等，
∴AC+CM=BC+BN，而AC=BC，
∴CM=BN，
∵ME⊥CD，NF⊥DB，
∴∠CEM=∠F=90°，
又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，
∴△CME≌△BNF，
∴ME=NF．
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