Question

已知有长度分别为1，2，3，…，99的线段各一条，用这些线段连起来做边长，能否构造成一个（1）正方形？（2）长方形？（3）正三角形？（要求：构造时所有这些线段都用到，每条线段不能分断．如果不能构造，说明理由；如果能，写出构造方法．）
解：（1）能否构造成正方形？______，理由或方法如下：
（2）能否构造成长方形？______，理由或方法如下：
（3）能否构造成正三角形？______，理由或方法如下：

Answer 1

解：（1）不能，因为1+2+3+…+99=4950，而4950不能被4整除，故不能围成正方形．
（2）能，方法不唯一，对1，2，3，…，9组成（1，98），（2，97）…（49，50），99，即可以组成50条长为99的线段，长方形的长与宽的和为25×99即可，如宽取99，那么长为24×99．
（3）方法一：取10，11，12，…，9成6条线段一组[（10，15），（11，14），（12，13）]，…[（99，94），（98，95），（97，96）]，共15组，三角形每一边都从15大组中的一小组，剩余的1，2，3，…，9可以组成三条长15的线段（方法较多），这样就可以将1，2，3，…，99不折断分成相等的三组构造出等边三角形．
方法二：如（2）分组，取45组99等分，然后把剩余的5组99等分，每一组分到165，如（99，66），（33，98，34），（65，1，99）．
分析：（1）根据正方形的四条边长相等即可判断；
（2）要组成长方形，根据周长的公式知，周长为长加宽的和乘以2，即长加宽的和为：4950÷2=2475，且要使对边分别相等，理论上可以组成长方形，只要列出一种方法即可；
（3）根据正三角形的三条边相等即可解答．
点评：本题是一道开放题，难度较大，判断出能否构成长方形和正三角形，只需举出一个例子即可．