Question

如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．

1.求△PEF的边长；

2.在不添加辅助线的情况下，从图中找出一个除△PEF外的等腰三角形，并说明理由

3.若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．

 

Answer 1

 

1.过P作PQ⊥BC于Q（如图1） 

矩形ABCD，∴∠B=90°，即AB⊥BC，

又AD∥BC，∴PQ=AB=

∵△PEF是等边三角形，∴∠PFQ=60°

在Rt△PQF中，QF：PQ：PF=1：：2

∴△PEF的边长为2．       ……………………4分

2.△APH是等腰三角形。理由如下：

∵AD∥BC，∠PFQ=60°，∴∠FPD=60°

在Rt△ADC中，AD=，DC=3，∴由勾股定理得AC=2，

∴AD=AC，∴∠CAD=30°

∵AD∥BC，∠PFQ=60°，∴∠FPD=60°，

∴∠PHA=30°=∠CAD，∴△APH是等腰三角形．    ……4分

3.PH－BE=1，理由如下：

作ER⊥AD于R（如图2）

Rt△PER中，∠RPE=60°，∴PR=PE=1，∴PH－BE= PA－BE=PR=1。    …………2分

 解析:略