Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3（a≠0），
根据题意，得，解得。
∴抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3。
（2）存在。
由y=﹣x²+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1。
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据勾股定理，得，即y=4﹣x。
又P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x²+2x+3，即x²﹣3x+1=0。
解得＜1，舍去。
∴，∴。
∴点P坐标为。
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
∴点P坐标为（2，3）。
综上所述，符合条件的点P坐标为或（2，3）。
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，
∴CB²+CD²=BD²=20。∴∠BCD=90°。
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，

在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°。，
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）。
∴DM∥BC。∴四边形BCDM为直角梯形。
由∠BCD=90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。

试题分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故用待定系数法求解即可。
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解。
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角。