Question

已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；
②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=﹣x²+4。
（2）①如图，连接CE，CD，

∵OD是⊙C的切线，∴CE⊥OD。
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°。
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=。
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k=OC=。
②存在k=，能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上。理由如下：
设抛物线y=﹣x²+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）²+4，它与y=﹣x²+4交于点P，
由﹣（x﹣k）²+4=﹣x²+4，解得x₁=，x₂=0（不合题意舍去）。
当x=时，y=﹣k²+4。
∴点P的坐标是（，﹣k²+4）。
设直线OD的解析式为y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=。
∴直线OD的解析式为y=x。
若点P（，﹣k²+4）在直线y=x上，得﹣k²+4=•，解得k=±（负值舍去）。
∴当k=时，O、P、D三点在同一条直线上。

试题分析：（1）∵抛物线的顶点为（0，4），∴可设抛物线解析式为y=ax²+4。
又∵抛物线过点（2，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1。∴抛物线解析式为y=﹣x²+4。
（2）①连接CE，CD，根据切线的性质得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后Rt△CDO，得出OC=，则k=OC=。
②设抛物线y=﹣x²+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）²+4，它与y=﹣x²+4交于点P，先求出交点P的坐标是（，﹣k²+4），再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x，然后将点P的坐标代入y=x，即可求出k的值。