Question

【题目】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，点F在AD上，AB=FC，BF的延长线交AC于点E.

(1)求证：△ABD≌△CFD.

(2)求证：CF⊥AB.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由已知可利用HL直接证明Rt△ABD≌Rt△CFD；

（2）由全等三角形的性质可得∠DCF=∠DAB，利用直角三角形两锐角互余，通过等量代换可求出∠DCF+∠ABD=90°，可得CF⊥AB.

证明：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△CFD中，，

∴Rt△ABD≌Rt△CFD（HL）；

（2）延长CF交AB于点G，

∵Rt△ABD≌Rt△CFD，

∴∠DCF=∠DAB，

∵∠DAB+∠ABD=90°，

∴∠DCF+∠ABD=90°，

∴∠BGC=90°，即CF⊥AB.