Question

如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

（1）求证：AC²=AB•AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

Answer 1

考点：

扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。

专题：

几何综合题。

分析：

（1）由=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；

（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

解答：

（1）证明：∵=，

∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，

∴△ACF∽△ABC，

∴=，即AC²=AB•AF；

（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，

如图所示：

∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，

又OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，

在Rt△AOE中，OA=2cm，

∴OE=OAcos60°=1cm，

∴AE==cm，

∴AC=2AE=2cm，

则S_阴影=S_扇形OAC﹣S_△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm²．

点评：

此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．