Question

(2005　江苏苏州)如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

(1)求证：AE∥BC；

(2)如图所示，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC改成相似于△ABC．请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论．

Answer 1

答案：略
解析：

证明　∵△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴∠ECD=∠ACB=60°． ∴∠ECD－∠ACD=∠ACB－∠ACD． 即∠ACE=∠BCD． 又∵AC=BC，EC=DC， ∴△ACE≌△BCD． ∴∠EAC=∠B=60°． ∴∠EAC=∠ACB． ∴AE∥BC． (2)仍有AE∥BC． 证明：∵△EDC∽△ABC， ∴， ∠ECD=∠ACB． ∴∠ECD=∠ACD=∠ACB－∠ACD． 即∠ACE=∠BCD． ∴△ACE∽△BCD． ∴∠EAC=∠B． ∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∴∠EAC=∠ACB． ∴AE∥BC．