Question

已知：如图，MN⊥PQ，垂足为O，点A、B分别在射线上OM、OP上，直线BE平分∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C．
（1）若∠BAO=45°，求∠ACB；
（2）若点A、B分别在射线上OM、OP上移动，试问∠ACB的大小是否会发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A、B的移动发生变化，请求出变化的范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PBA，然后根据角平分线的定义表示出∠FBA与∠BAC，最后在△ABC中，利用三角形的外角性质即可求解；
（2）根据（1）的求解思路，求出∠ACB的表达式，是常数，所以不论点A、B如何移动，角的大小保持不变．

解答：解：（1）∵MN⊥PQ，
∴∠BOA=90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+90°=135°，
∵∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C，
∴∠BAC=

1

2

∠BAO=

1

2

×45°=22.5°，
∠FBA=

1

2

∠PBA=

1

2

×135°=67.5°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=67.5°-22.5°=45°；

（2）∵MN⊥PQ，
∴∠BOA=90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=∠BAO+90°，
∵∠PBA与∠BAO的平分线相交于点C，
∴∠BAC=

1

2

∠BAO，
∠FBA=

1

2

∠PBA=

1

2

（∠BAO+90°）=

1

2

∠BAO+45°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=

1

2

∠BAO+45°-

1

2

∠BAO=45°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出各角的表达式是解题的关键，难度中等．