题目内容
如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙
O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．
（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②
=
；
（2）若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心，⊙O1、⊙O2的半径分别是r、R，其中R≥2r，如图2，求证：PC•AC是定值．
O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②
| AB |
| AC |
| BC |
| BD |
（2）若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心，⊙O1、⊙O2的半径分别是r、R，其中R≥2r，如图2，求证：PC•AC是定值．
证明：（1）①过点P作两圆公切线MN．
则∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O1的切线，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴
=
，
∴
=
．
∵CD∥AB，
∴
=
=
．
即
=
．
（2）连接O1C，PO1．
则PO2经过点O1，且O1C=r，O1O2=R-r．
∵BE与⊙O1相切，
∴O1C⊥BE．
在Rt△CO1O2中，
CO2=
=
r，
∴BC=BO2+CO2=R+
．
EC=EO2-CO2=R-
．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．
则∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O1的切线，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴
| AB |
| PA |
| BC |
| PB |
∴
| AB |
| BC |
| PA |
| PB |
∵CD∥AB，
∴
| PA |
| PB |
| AC |
| BD |
| AB |
| BC |
即
| AB |
| AC |
| BC |
| BD |
（2）连接O1C，PO1．
则PO2经过点O1，且O1C=r，O1O2=R-r．
∵BE与⊙O1相切，
∴O1C⊥BE．
在Rt△CO1O2中，
CO2=
O1
|
| R2-2R |
∴BC=BO2+CO2=R+
| R2-2Rr |
EC=EO2-CO2=R-
| R2-2Rr |
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．
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