题目内容
如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=| 4 | 5 |
分析：作辅助线，连接OD，则OD⊥CD．
根据切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角，可知：CD=BC，∠OCD=∠OCB．
故在Rt△OCD中，运用三角函数可将半径OD的值求出，进而可将直径AB求出．
根据切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角，可知：CD=BC，∠OCD=∠OCB．
故在Rt△OCD中，运用三角函数可将半径OD的值求出，进而可将直径AB求出．
解答：
解：连接OD，则OD⊥CD．
∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．
∴根据切线长定理得：CD=BC=6．
在Rt△OCD中，sin∠OCD=
，
∴tan∠OCD=
，OD=tan∠OCD×CD=8．
∴AB=2OD=16．
解：连接OD，则OD⊥CD．∵∠ABC=90°，∴CD、CB为⊙O的两条切线．
∴根据切线长定理得：CD=BC=6．
在Rt△OCD中，sin∠OCD=
| 4 |
| 5 |
∴tan∠OCD=
| 4 |
| 3 |
∴AB=2OD=16．
点评：本题综合考查了切线的性质，切线长定理及解直角三角形的运算能力，在解题时，遇到切线，要连接过切点的半径．
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