Question

如图，抛物线l₁：y=-x²平移得到抛物线l₂，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l₂的顶点为点B，它的对称轴与l₂相交于点C，设l₁、l₂与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：

（1）求l₂表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。
（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。
（3）在直线AC上是否存在点P，使得S_△POA=S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。（参考公式：抛物线y=ax²+bx+c 的对称轴是x=-，顶点坐标是（-，））。

Answer 1

解：（1）设l₂的函数解析式为y=-x²+bx+c
把（4，0）代入函数解析式，得

解得
∴y=-x²+4x
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4
∴l₂的对称轴是直线x=2，顶点坐标B（2，4）。
（2）当x=2时，y=-x²=-4
∴C点坐标是（2，-4）
S=8；
（3）存在
设直线AC表示的函数解析式为y=kx+n
把A（4，0），C（2，-4）代入得
，解得
∴y=2x-8
设△POA的高为h
S_△POA=OA·h=2h=4
设点P的坐标为（m，2m-8）
∵S_△POA=S，且S=8
∴S_△POA=×8=4
当点P在x轴上方时，得× 4（2m-8）=4
解得m=5，
∴2m-8=2
∴P的坐标为（5，2）
当点P在x轴下方时，得× 4（8-2m）=4
解得m=3，
∴2m-8=-2
∴点P的坐标为（3，-2）
综上所述，点P的坐标为（5，-2）或（3，-2）。