题目内容
30、如图，抛物线L1：y=-x2-2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于M点．将抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；
（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上？请说明理由．
分析：（1）由于是平移，所以抛物线开口方向和开口大小不变．先求出L1与x轴的交点，再求出L2与x轴的交点，即可根据交点式求出抛物线解析式；
（2）由于是平移，根据平移的性质，连接各组对应点的线段平行且相等，故存在符合条件的点N；
（3）先设出L1上的点（x1，y1），再根据中心对称的定义求出其对称点（-x1，-y1），再将（-x1，-y1）代入函数L2解析式，成立则在图象上，不成立则不在图象上．
（2）由于是平移，根据平移的性质，连接各组对应点的线段平行且相等，故存在符合条件的点N；
（3）先设出L1上的点（x1，y1），再根据中心对称的定义求出其对称点（-x1，-y1），再将（-x1，-y1）代入函数L2解析式，成立则在图象上，不成立则不在图象上．
解答：
解：（1）令y=0，得-x2-2x+3=0，
∴x1=-3，x2=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵抛物线L向右平移2个单位得抛物线L2，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴抛物线L2为y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3．
（2）存在．令x=0，得y=3．
∴M（0，3），
∵抛物线L2是L1向右平移2个单位得到的，
∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN∥AC．
又∵AC=2，
∴MN=AC．
∴四边形ACNM为平行四边形．
同理，L1上的点N′（-2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC．
∴四边形ACMN′是平行四边形．
∴N（2，3）或N′（-2，3）即为所求．
（3）设点P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），
则点P关于原点的对称点Q（-x1，-y1），且y1=-x12-2x1+3，
将点Q的横坐标代入L2，得yQ=-x12-2x1+3=y1≠-y1，
∴点Q不在抛物线L2上．
解：（1）令y=0，得-x2-2x+3=0，∴x1=-3，x2=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵抛物线L向右平移2个单位得抛物线L2，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴抛物线L2为y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3．
（2）存在．令x=0，得y=3．
∴M（0，3），
∵抛物线L2是L1向右平移2个单位得到的，
∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN∥AC．
又∵AC=2，
∴MN=AC．
∴四边形ACNM为平行四边形．
同理，L1上的点N′（-2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC．
∴四边形ACMN′是平行四边形．
∴N（2，3）或N′（-2，3）即为所求．
（3）设点P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），
则点P关于原点的对称点Q（-x1，-y1），且y1=-x12-2x1+3，
将点Q的横坐标代入L2，得yQ=-x12-2x1+3=y1≠-y1，
∴点Q不在抛物线L2上．
点评：本题结合二次函数的图象和性质，考查了平移、对称和动点问题，涉及问题较广泛，有一定难度，是一道好题．
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