题目内容
如图，抛物线l1：y1=a（x+1）2+2与l2：y2=-（x-2）2-1交于点B（1，-2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；
②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当-3＜x＜1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是（ ）
分析：①由非负数的性质，即可证得y2=-（x-2）2-1≤-1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；
②由抛物线l1：y1=a（x+1）2+2与l2：y2=-（x-2）2-1交于点B（1，-2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③由 y1-y2=-（x+1）2+2-[-（x-2）2-1]=-6x+6，可得随着x的增大，y1-y2的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．
②由抛物线l1：y1=a（x+1）2+2与l2：y2=-（x-2）2-1交于点B（1，-2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③由 y1-y2=-（x+1）2+2-[-（x-2）2-1]=-6x+6，可得随着x的增大，y1-y2的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF=CF=DF=EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．
解答：解：①∵（x-2）2≥0，
∴-（x-2）2≤0，
∴y2=-（x-2）2-1≤-1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故①正确；
②∵抛物线l1：y1=a（x+1）2+2与l2：y2=-（x-2）2-1交于点B（1，-2），
∴当x=1时，y=-2，
即-2=a（1+1）2+2，
解得：a=-1；
∴y1=-（x+1）2+2，
∴l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y1-y2=-（x+1）2+2-[-（x-2）2-1]=-6x+6，
∴随着x的增大，y1-y2的值减小；
故③错误；
④设AC与DE交于点F，
∵当y=-2时，-（x+1）2+2=-2，
解得：x=-3或x=1，
∴点A（-3，-2），
当y=-2时，-（x-2）2-1=-2，
解得：x=3或x=1，
∴点C（3，-2），
∴AF=CF=3，AC=6，
当x=0时，y1=1，y2=-5，
∴DE=6，DF=EF=3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC=DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故选C．
∴-（x-2）2≤0，
∴y2=-（x-2）2-1≤-1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故①正确；
②∵抛物线l1：y1=a（x+1）2+2与l2：y2=-（x-2）2-1交于点B（1，-2），
∴当x=1时，y=-2，
即-2=a（1+1）2+2，
解得：a=-1；
∴y1=-（x+1）2+2，
∴l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y1-y2=-（x+1）2+2-[-（x-2）2-1]=-6x+6，
∴随着x的增大，y1-y2的值减小；
故③错误；
④设AC与DE交于点F，∵当y=-2时，-（x+1）2+2=-2，
解得：x=-3或x=1，
∴点A（-3，-2），
当y=-2时，-（x-2）2-1=-2，
解得：x=3或x=1，
∴点C（3，-2），
∴AF=CF=3，AC=6，
当x=0时，y1=1，y2=-5，
∴DE=6，DF=EF=3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC=DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故选C．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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