题目内容
【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问:DE,AD,BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DE=BE-AD,证明见解析
【解析】
(1)利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°,则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°,再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE,然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB,所以CD=BE,AD=CE,再利用等量代换得到DE=AD+BE;
(2)与(1)证法类似可证出∠DAC=∠BCE,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,从而有DE=CE-CD=AD-BE;
(3)与(1)证法类似可证出∠DAC=∠BCE,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CE,CD=BE,于是有DE=CD-CE=BE-AD.
(1)证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠DAC+∠DCA=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ECB+∠DCA=90°
∴∠DAC=∠ECB
在△ACD和△CBE中,
∵
∴△ACD≌△CBE(AAS)
∴CE=AD, CD=BE
∵DE=CE+CD
∴DE=AD+BE
(2)证明:与(1)一样可证明△ADC≌△CEB,
∴CD=BE,AD=CE,
∴DE=CE-CD=AD-BE;
(3)DE=BE-AD.证明如下:
证明:证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠DAC+∠DCA=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ECB+∠DCA=90°
∴∠DAC=∠ECB
在△ACD和△CBE中,
∵
∴△ACD≌△CBE(AAS)
∴CE=AD, CD=BE
∴DE=CD-CE= BE-AD;
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