题目内容

【题目】ABC中,∠ACB90°ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于点DBEMN于点E

1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:DEADBE

2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:DEADBE

3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问:DEADBE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3DEBEAD,证明见解析

【解析】

1)利用垂直的定义得∠ADC=CEB=90°,则根据互余得∠DAC+ACD=90°,再根据等角的余角相等得到∠DAC=BCE,然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB,所以CD=BEAD=CE,再利用等量代换得到DE=AD+BE
2)与(1)证法类似可证出∠DAC=BCE,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CECD=BE,从而有DE=CE-CD=AD-BE
3)与(1)证法类似可证出∠DAC=BCE,能推出△ADC≌△CEB,得到AD=CECD=BE,于是有DE=CD-CE=BE-AD

1)证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC∠CEB90°

∴∠DAC∠DCA90°

∵∠ACB90°

∴∠ECB∠DCA90°

∴∠DAC∠ECB

△ACD△CBE中,

∴△ACD≌△CBE(AAS)

∴CEAD, CDBE

∵DECECD

∴DEADBE

2)证明:与(1)一样可证明△ADC≌△CEB
CD=BEAD=CE
DE=CE-CD=AD-BE

3DEBEAD.证明如下:

证明:证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN

∴∠ADC∠CEB90°

∴∠DAC∠DCA90°

∵∠ACB90°

∴∠ECB∠DCA90°

∴∠DAC∠ECB

△ACD△CBE中,

∴△ACD≌△CBE(AAS)

∴CEAD, CDBE

DE=CD-CE= BE-AD

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