Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是在第一象限内该抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当x=______时，P、C、O、N四点能围成平行四边形．
（3）连接PC，在（2）的条件下，解答下列问题：
①请用含x的式子表示线段BN的长度：BN=______；
②若PC⊥BC，试求出此时点M的坐标．

Answer 1

解：（1）由于直线经过B、C两点，令y=0得x=4；令x=0，得y=3，
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x²+bx+c上，于是得，
解得：b=，c=3，
∴所求函数关系式为．

（2）①∵点P（x，y）在抛物线上，且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，）同理可设点N的坐标为（x，），
又∵点P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（）-（）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，
线段PN的长度的最大值为4．
②因为PN∥CO，要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，
由①得：PN=-x²+4x，故可得：-x²+4x=3，
解得：x=1或3．

（3）①∵△BNM∽△BCO，
∴=，即=，
解得：BN=．
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴=，即=，
解得：x=或x=0（舍去），
故此时点M的坐标为（，0）．
分析：（1）利用一次函数求出点B、C的坐标，然后利用待定系数发求解二次函数解析式即可；
（2）①根据二次函数解析式设出点P的坐标，根据直线BC解析式设出点N的坐标，然后根据PN=PM-NM，可得出PN的表达式，利用配方法可求出最大值．
②根据PN∥OC，可得出要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，结合①PN的表达式可建立方程，解出即可得出答案．
（3）①根据△BNM∽△BCO，利用相似三角形的对应边成比例可得出BN的关于x的表达式；
②先判断出△PCN∽△BOC，然后利用利用对应边成比例可得出方程，解出即可得出x的值，也可确定点M的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．