Question

【题目】如图，在中，，，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连结、、．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

（3）若点是的外心，当点在直线的一个位置运动到另一个位置时，点恰好在的内部，请直接写出点走过的距离为_____．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）根据SAS即可证得结论；

（2）分两种情况，由∠BAC得到∠BAD，求出∠BDA，根据即可得到答案；

（3）当点D在CB延长线上时，且当DB=CB时，△CAD的外心P与顶点B重合，当点D向点B移动时，点P在△ABC的内部，当点D与点B重合时，点P恰好在AC的中点，由此根据三角函数求出点P走过的距离即可.

（1）∵，

∴∠CBE=,

∵AB=CB，BD=BE，

∴；

（2）当点D在线段BC上时，

∵，，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵,

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=30°，

∴∠BDA=90°-∠BAD=60°，

∵,

∴=∠BDA=60°；

当点D在BC延长线上时，如图，

∵∠BAD=45°+15°=60°，

∴∠BDA=90°-∠BAD=30°，

∴=∠BDA=30°；

故答案为：或；

（3）当点D在CB延长线上时，且当DB=CB时，△CAD的外心P与顶点B重合，当点D向点B移动时，点P在△ABC的内部，当点D与点B重合时，点P恰好在AC的中点，

设AC的中点是点E，连接BE，则BE即为点D运动时点P走过的距离，

∵AB=AC，，

∴BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∴=，

故答案为：.