Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（

3

，0），B（3

3

，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连接DA、DF．设运动时间为t秒．
（1）求∠ABC的度数；
（2）当t为何值时，AB∥DF；
（3）设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y=-x²+mx经过动点E，当S＜2

3

时，求m的取值范围（写出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）求∠ABC的度数即求∠BAx的度数，过B作BM⊥x轴于M，则AM=2

3

，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度数．
（2）当AB∥FD时，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的长表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的长表示出BF，然后可根据CF+BF=BC来求出t的值．
（3）①连接DE，根据D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四边形ODEG是矩形，因此DE∥x轴，那么四边形AEFD的面积可分成三角形ADE和三角形EFD两部分来求出．两三角形都以DE为底，两三角形高的和正好是OC的长，因此四边形ADEF的面积就等于

1

2

DE•OC，关键是求出DE的长．如果过A作DE的垂线不难得出DE=OA+AE•sin60°，由此可得出S，t的函数关系式．
②已知了S的取值范围可根据①的函数关系式求出t的取值范围．在①题已经求得了E点坐标，将其代入抛物线的解析式中，用m表示出t的值，然后根据t的取值范围即可求出m的取值范围．

解答：解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M
∵C（0，2），B（3

3

，2）
∴BC∥OA
∴∠ABC=∠BAM
∵BM=2，AM=2

3

∴tan∠BAM=

3

3

∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF
∴∠CFD=∠CBA=30°
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=

3

（2-t）
∴AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=

2(4-2t)

3

∴

3

（2-t）+

2(4-2t)

3

=3

3

，
∴t=

5

7

．

（3）①过点E作EG⊥x轴于点G，
则EG=t，OG=

3

+

3

t
∴E（

3

+

3

t，t）
∴DE∥x轴
S=S_△DEF+S_△DEA=

1

2

DE×CD+

1

2

DE×OD
=

1

2

DE×OC=

1

2

×（

3

t+

3

）×2
=

3

+

3

t．
②当S＜2

3

时，
由①可知，S=

3

+

3

t
∴

3

t+

3

＜2

3

，
∴t＜1，
∵t＞0，
∴0＜t＜1，
∵y=-x²+mx，点E（

3

+

3

t，t）在抛物线上，
当t=0时，E（

3

，0），
∴m=

3

，
当t=1时，E（2

3

，1），
∴m=

13 3

6

，
∴

3

＜m＜

13 3

6

．

点评：本题考查了解直角三角形、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识点．综合性强难度较大．