题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A﹣30),B10),C03)三点,其顶点为D,对称轴是直线llx轴交于点H

1)求该抛物线的解析式;

2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求PBC周长的最小值;

3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( EAD不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为mADF的面积为S

①求Sm的函数关系式;

S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;(2);(3最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2).

【解析】(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可;

(2)根据BC是定值,得到当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可;

(3)设点E的横坐标为m,表示出E(m,2m+6),F(m,﹣m22m+3),最后表示出EF的长,从而表示出S于m的函数关系,然后求二次函数的最值即可.

解:(1)由题意可知: ,解得:

∴抛物线的解析式为:y=x22x+3

2)∵△PBC的周长为:PB+PC+BC

BC是定值,

∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,

∵点A、点B关于对称轴I对称,

∴连接ACl于点P,即点P为所求的点

AP=BP

∴△PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC

A(﹣30),B10),C03),

AC=3BC=

3)①∵抛物线y=x22x+3顶点D的坐标为(﹣14

A(﹣30

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m

Em2m+6),Fm,﹣m22m+3

EF=m22m+3﹣(2m+6=m24m3

∴S=S△DEF+S△AEF=EFGH+EFAC=EFAH=(﹣m24m3×2=m24m3

S=m24m3

=﹣(m+22+1

∴当m=2时,S最大,最大值为1

此时点E的坐标为(﹣2,2).

“点睛”此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值,根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础.

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