题目内容

【题目】如图,ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MNBC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F

1)求证:OEOF

2)若CE8CF6,求OC的长;

3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.

【答案】1)证明见解析;(25;(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,证明见解析.

【解析】

1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=2,∠3=4,进而由“等角对等边”证明即可;

2)根据已知得出∠2+4=5+6=90°,进而利用勾股定理求出EF的长,即可得出CO的长;

3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定即可得出.

1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F

∴∠2=∠5,∠4=∠6

MNBC

∴∠1=∠5,∠3=∠6

∴∠1=∠2,∠3=∠4

EOCOFOCO

OEOF

2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6

∴∠2+4=∠5+690°

CE8CF6

EF10

OCEF5

3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

证明:当OAC的中点时,AOCO

EOFO

∴四边形AECF是平行四边形,

∵∠ECF90°

∴平行四边形AECF是矩形.

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