Question

【题目】已知直线y=﹣ x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣ x+3中x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣ x+3中y=0，则﹣ x+3，
解得：x ，
∴点B的坐标为（ ，0）．
∴AB=2 ．
∵抛物线的对称轴为x= ，
∴点C的坐标为（2 ，3），
∴AC=2 =AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y=﹣ （x﹣ ）2+4中y=0，则﹣ （x﹣ ）2+4=0，
解得：x=﹣ ，或x=3 ．
∴点E的坐标为（﹣ ，0），点F的坐标为（3 ，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故选A．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的判定的相关知识点，需要掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等才能正确解答此题．