题目内容
在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．
（1）如图1，当点A的横坐标为______时，矩形AOBC是正方形；
（2）如图2，当点A的横坐标为
时，①求点B的坐标；
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
【答案】分析：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，从而得到△AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（-a，a），然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；
（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；
②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可．
解答：解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（-a，a）（a≠0），
则（-a）2=a，
解得a1=1，a2=0（舍去），
∴点A的横坐标-a=-1，
故答案为：-1；
（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
当x=-
时，y=（-
）2=
，
即OE=
，AE=
，
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
=
=
=
，
设OF=t，则BF=2t，
∴t2=2t，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴点B（2，4）；
②过点C作CG⊥FB的延长线于点G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，
，
∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=
，BG=AE=
．
∴xc=2-
=
，yc=4+
=
，
∴点C（
，
），
设过A（-
，
）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得，
，
解得
，
∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2，
当x=
时，y=-（
）2+3×
+2=
，所以点C也在此抛物线上，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-（x-
）2+
．
平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移
个单位，再向上平移
个单位得到抛物线y=-（x-
）2+
．
点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一．
（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；
②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可．
解答：解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为（-a，a）（a≠0），
则（-a）2=a，
解得a1=1，a2=0（舍去），
∴点A的横坐标-a=-1，
故答案为：-1；
（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
当x=-
时，y=（-）2=，即OE=
，AE=，∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴
===，设OF=t，则BF=2t，
∴t2=2t，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴点B（2，4）；
②过点C作CG⊥FB的延长线于点G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，
，∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=
，BG=AE=．∴xc=2-
=，yc=4+=，∴点C（
，），设过A（-
，）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得，，解得
，∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2，
当x=
时，y=-（）2+3×+2=，所以点C也在此抛物线上，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-（x-
）2+．平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移
个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=-（x-）2+．点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一．
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