Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为M（2，-3），且经过点A（0，1），直线y=x+1与抛物线交于A点和B点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求△ABM的面积；
（3）如图②，点P是x轴上的一动点，请探索：
①过点P作PQ∥AB，交BM于点Q，连接AQ，AP，当△APQ的面积最大时，求P的坐标．
②是否存在点P，使得△PAB是直角三角形？若存在，求出所有的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为M（2，-3），
∴设y=a（x-2）²-3，将点A（0，1）代入得，
1=4a-3，
∴a=1
∴y=（x-2）²-3；

（2）当y=0时，0=x+1，
∴x=-1，∴D（-1，0）
把y=x+1代入y=（x-2）²-3，得

x+1=(x-2)2-3

，
解得：x₁=0，x₂=5，
如图1，过点M作MN∥y轴交AB于点N，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BE⊥MN与点E，
当x=2时，y=x+1=3，
∴MN=6，
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=

MN×AF

2

+

MN×BE

2

=

1

2

×6×5=15；

（3）①，
∵B（5，6），A（-1，0）
∴BD=6

2

设MB所在直线的解析式为y=kx+b，
把点B，点M则：

6=5k+b -3=2k+b

∴

k=3 b=-9

，
∴MB所在直线的解析式为：y=3x-9，
∴N（3，0），
∴ND=3-（-1）=4
设P（x，0），则PN=3-x
∵PQ∥AB，
∴△NQP∽△NBD，
∴

PQ

BD

=

PN

DN

，
∴

PQ

6 2

=

3-x

4

，
∴PQ=

3 2 (3-x)

2

，
如图2，过点P作PC⊥AB于点C，
∵直线y=x+1交x轴于点（-1，0），
∴∠ADO=45°，
∴Rt△PCD为等腰Rt△，
CP=

2

2

DP=

2

2

(x+1)，
∴△APQ的面积=

1

2

×

3 2 (3-x)

2

×

2

2

（x+1）=-

3

4

（x²-2x-3）=-

3

4

（x-1）²+3，
∴x=1时，S的值最大，
此时点P（1，0）；
②分三种情况讨论：
Ⅰ．当∠BAP=90°，如图3，
∵∠DAP=∠HDB，∠BHD=∠DAP，
∴△DAP∽△DHB，
∴

DP

DB

=

DA

DH

，
∴

DP

6 2

=

2

6

，
∴解得：DP=2，
∴OP=1，
∴P₁（1，0），

Ⅱ．当∠APB=90°时，如图4，
∵∠APO+∠BPH=90°，∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠BPH，
∵∠AOP=∠PHB=90°，
∴△AOP∽△PHB，
∴

AO

PH

=

PO

BH

，
∴

1

5-OP

=

OP

6

，
解得：OP=2或3，
∴P₂（2，0），P₃（3，0），

Ⅲ．当∠ABP=90°时，如图5，
∵∠BDP=∠ODA，∠DBP=∠AOD=90°，
∴△AOD∽△PBD，
∴

OD

BD

=

AD

PD

，
∴

1

6 2

=

2

PD

，
解得：PD=12，
∴OP=11，
P₄（11，0），
综上所述：P点坐标为：（1，0），（2，0），（3，0），（11，0）．