题目内容
如图正方形ABCD的边长是a，△AEF是等边三角形，点E在BC上，点F在CD上（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）求等边△AEF的边长．
分析：（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF；
（2）再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE，进而求出等边△AEF的边长．
（2）再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1-x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE，进而求出等边△AEF的边长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=a-x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△EFC中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴a2+x2=2（a-x）2，
∴x=2a±
a，
∵x＜a，
∴x=2a-
a，
∴AE=
=
a．
∴等边△AEF的边长为：
a．
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
|
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=a-x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△EFC中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴a2+x2=2（a-x）2，
∴x=2a±
| 3 |
∵x＜a，
∴x=2a-
| 3 |
∴AE=
| AB2+BE2 |
8-4
|
∴等边△AEF的边长为：
8-4
|
点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．
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|
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