题目内容
【题目】阅读材料:如图1,若,则.
理由:如图,过点作,
则.
因为,
所以,
所以,
所以.
交流:(1)若将点移至图2所示的位置,,此时、、之间有什么关系?请说明理由.
探究:(2)在图3中,,、又有何关系?
应用:(3)在图4中,若,又得到什么结论?请直接写出该结论.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)过点E作EF∥AB,由平行线的性质可知∠B+∠BEF=180°,∠D+∠DEF=180°,再由角之间的关系即可得出结论;
(2)过点F作FM∥AB,用(1)的结论可知∠E=∠B+∠EFM,∠G=∠GFM+∠D,再由角之间的关系即可得出结论;
(3)已知AB∥CD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件,就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间,解题的关键是过E点作AB(或CD)的平行线,把复杂的图形化归为基本图形.
(1)过点E作EF∥AB,如图2所示.
∵AB∥EF,
∴∠B+∠BEF=180°,
∵EF∥AB∥CD,
∴∠D+∠DEF=180°,
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°,
∵∠E=∠BEF+∠DEF,
∴∠B+∠D+∠E=360°.
(2)过点F作FM∥AB,如图3所示.
∵AB∥FM,结合(1)结论,
∴∠E=∠B+∠EFM,
∵FM∥AB∥CD,结合(1)结论,
∴∠G=∠GFM+∠D,
又∵∠F=∠EFM+∠GFM,
∴∠E+∠G=∠B+∠D+∠F.
(3)如图:
根据(1)和(2)中的结论,我们得到两条平行线之间,内折的所有角的度数之和等于外折的所有角的度数之和,即:
.
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