Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂内切于P点，过P点作直线交⊙O₁于A点，交⊙O₂于B点，C为⊙O₁上一点，过B点作⊙O₂的切线交直线AC于Q点．
（1）求证：AC•AQ=AP•AB；
（2）若将两圆内切改为外切，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？

 

请你画出图形，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）证明线段的乘积相等，可以转化为证明线段成比例，即证明△ABQ∽△ACP，围绕证明相似找条件；
（2）仍成立，仿照（1）的证明方法．

解答：（1）证明：过P点作两圆的公切线MN，与QB的延长线交于N点，连接PC，
∵BQ、MN是⊙O₂的切线，∴NB=NP，
∴∠QBA=∠NBP=∠NPB，
又∵MN是⊙O₂的切线，
∴∠PCA=∠NPB，可得∠QBA=∠PCA，又∠A=∠A，
∴△ABQ∽△ACP，
∴

AC

AB

=

AP

AQ

，即AC•AQ=AP•AB；

（2）解：结论仍成立．
证明：过点P作两圆的公切线MN，与BQ交于N点，连接PC，
因为BQ是圆的切线，设MN与BQ交于点E，
则根据切线长定理得到NP=NB，
∴∠NPB=∠QBP=∠APM，
又∵∠APM=∠ACP，
∴∠QBP=∠ACP，
∴△ABQ∽△ACP，
∴AC•AQ=AP•AB仍成立．

点评：证明线段的乘积相等的问题一般是转化为证明三角形相似的问题．