题目内容
（2012•宁波模拟）已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B，D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=6
，现将△DEF沿直线BC以每秒
个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积s与t的函数关系式；
（3）当D与C重合时，点H为直线DF上一动点，现将△DBH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK，则是否存在点H使得△BHK的面积为4
？若存在，试求出CH的值；若不存在，请说明理由．
| 3 |
| 3 |
（1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
（2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积s与t的函数关系式；
（3）当D与C重合时，点H为直线DF上一动点，现将△DBH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK，则是否存在点H使得△BHK的面积为4
| 3 |
分析：（1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动的距离，即可求得时间；
（2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分情况进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式；
（3）首先求得当B，H，K在一条直线上时CK的长度，然后利用：△BHK的面积、△BCK的面积、△XKH的面积、△BCH的面积之间的关系，即可得到一个关于CK的长度的方程，解得CK的长度．
（2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分情况进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式；
（3）首先求得当B，H，K在一条直线上时CK的长度，然后利用：△BHK的面积、△BCK的面积、△XKH的面积、△BCH的面积之间的关系，即可得到一个关于CK的长度的方程，解得CK的长度．
解答：
解：（1）当F在边AB上时，如图（1），作AM⊥BC，则AM=
AB=
×6
=9，
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴
=
，即
=
，解得：BE=2
，则移动的距离是：6
+2
=8
，则t=
=8；
当F在AC上时，如图（2）同理可得：EC=2
，则移动的距离是：2×6
-2
=12
-2
=10
，
则t=
=10，
故t的值是：8或10；
（2）当0＜t≤6时，重合部分是三角形，如图（3），
设AB与BE交于点N，
则BD=
t，
则NB=
BD=
t，ND=
BD=
×
t=
t，则s=
NB•ND=
×
t×
t=
t2；
当6＜t≤8时，重合部分是：△EFD在△ABC左边的部分的面积是：
（6-t）2 sin30°•cos30°
=
（6-t）2，
右边的部分的面积是：
t-9，
则S=18
-
（6-t）2-
t+9=-
t2+
t+
+9，
当8＜t＜10时，如图（4），
则CD=
t-6
，
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=
t-6
，
则在直角△THC中，TH=
TC=
（
t-6
）=
t-9，
则s=18
-
CD•TH=18
-
（
t-6
）（
t-9）=-
（t-6）2+18
；
当10≤t＜12时，重合部分如图（5），
EC=12
-
t，
则直角△ECJ中，EJ=
EC=
（12
-
t），
则s=
EC•EJ=
×
（12
-
t）2=
（12-t）2．
（3）当B，H，K在一条直线上时，CH=CK=BC•tan30°=6
×
=6，
设CH=x，作HL⊥BC于点L，则HL=
x，
△CKH是边长是x的等边三角形，则面积是
x2，
△BCH的面积是：
BC•HL=3
×
x=
x，
△BCK的面积是：3
x．
当0＜CH＜6时，△BHK的面积=△BCK的面积-△CKH的面积-△BCH的面积，即3
x-
x-
x2=4
，方程无解．
当CH＞6时，△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积-△BCK的面积，即
x2+
x-3
x=4
，解得：x=8或-2（舍去），故x=8
总之，CH=8．
解：（1）当F在边AB上时，如图（1），作AM⊥BC，则AM=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∵AM⊥BC，∠FEB=90°
∴EF∥AM，
∴△BEF∽△BMA，
∴
| BE |
| BM |
| EF |
| AM |
| BE | ||
3
|
| 6 |
| 9 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
8
| ||
|
当F在AC上时，如图（2）同理可得：EC=2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
则t=10
| ||
|
故t的值是：8或10；
（2）当0＜t≤6时，重合部分是三角形，如图（3），
设AB与BE交于点N，则BD=
| 3 |
则NB=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
3
| ||
| 8 |
当6＜t≤8时，重合部分是：△EFD在△ABC左边的部分的面积是：
| 1 |
| 2 |
=
| ||
| 8 |
右边的部分的面积是：
| 3 |
| 2 |
则S=18
| 3 |
| ||
| 8 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 8 |
3
| ||
| 2 |
27
| ||
| 2 |
当8＜t＜10时，如图（4），
则CD=| 3 |
| 3 |
∵∠TCB=60°，∠D=30°
∴∠DTC=30°，
∴∠D=∠DTC，
∴TC=CD=
| 3 |
| 3 |
则在直角△THC中，TH=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
则s=18
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
3
| ||
| 4 |
| 3 |
当10≤t＜12时，重合部分如图（5），
EC=12
| 3 |
| 3 |
则直角△ECJ中，EJ=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
则s=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
（3）当B，H，K在一条直线上时，CH=CK=BC•tan30°=6
| 3 |
| ||
| 3 |
设CH=x，作HL⊥BC于点L，则HL=
| 1 |
| 2 |
△CKH是边长是x的等边三角形，则面积是
| ||
| 4 |
△BCH的面积是：
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 2 |
x，△BCK的面积是：3
| 3 |
当0＜CH＜6时，△BHK的面积=△BCK的面积-△CKH的面积-△BCH的面积，即3
| 3 |
3
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
当CH＞6时，△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积-△BCK的面积，即
| ||
| 4 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
| 3 |
总之，CH=8．
点评：本题考查了相似三角形的性质，正确对t的情况进行分类是关键．
练习册系列答案
相关题目
（2012•宁波模拟）如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）（n为正整数）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S，四边形A1A2B2B1的面积记作S1，四边形A2A3B3B2的面积记作S2，…，四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积记作Sn，那么S1=