Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，解得x1=﹣1或x2=3

∴A（﹣1，0）B（3，0）

将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3

∴C（2，﹣3）

∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1

（2）

解：设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）

则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）

E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴当 时，PE的最大值=

（3）

解：存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+ ，0），F4（4﹣ ，0）．

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+ ，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+ ．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+ ，0）；

④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣ ，0）．

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点

【解析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp﹣yE ， 列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；（3）存在四个这样的点．①连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③此时C，G两点的纵坐标关于x轴对称，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+ ，3），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+ ，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣ ，0）；
综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．