题目内容

【题目】凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元,售价20元,多买优惠,优势方法是:凡是一次买10只以上的,每多买一只,所买的全部计算器每只就降价0.1元,例如:某人买18只计算器,于是每只降价0.1×(18﹣10)=0.8(元),因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买,但是每只计算器的最低售价为16元.
(1)求一次至少购买多少只计算器,才能以最低价购买?
(2)求写出该文具店一次销售x(x>10)只时,所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)一天,甲顾客购买了46只,乙顾客购买了50只,店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多,请你说明发生这一现象的原因;当10<x≤50时,为了获得最大利润,店家一次应卖多少只?这时的售价是多少?

【答案】
(1)解:设一次购买x只,

则20﹣0.1(x﹣10)=16,

解得:x=50.

答:一次至少买50只,才能以最低价购买


(2)解:当10<x≤50时,

y=[20﹣0.1(x﹣10)﹣12]x=﹣0.1x2+9x,

当x>50时,y=(16﹣12)x=4x;

综上所述:y=


(3)解:y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5,

①当10<x≤45时,y随x的增大而增大,即当卖的只数越多时,利润更大.

②当45<x≤50时,y随x的增大而减小,即当卖的只数越多时,利润变小.

且当x=46时,y1=202.4,

当x=50时,y2=200.

y1>y2

即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象.

当x=45时,最低售价为20﹣0.1(45﹣10)=16.5(元),此时利润最大


【解析】本题考查了二次函数的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值),也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣ 时取得.(1)设一次购买x只,由于凡是一次买10只以上的,每多买一只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,而最低价为每只16元,因此得到20﹣0.1(x﹣10)=16,解方程即可求解;(2)由于根据(1)得到x≤50,又一次销售x(x>10)只,因此得到自变量x的取值范围,然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式;(3)首先把函数变为y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5,然后可以得到函数的增减性,再结合已知条件即可解决问题.

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