题目内容
如图1,在?ABCD中,AD=a,AB=
a,a为定值,线段AD绕着点A旋转,旋转时∠DAB为锐角,经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F,点F不与点D重合.
(1)求∠DAB的范围;
(2)如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径(如图2所示),请你验证此时∠DAB的度数在第(1)问所求的范围内,并证明:此时点F恰好是DC的一个三等分点.
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(1)求∠DAB的范围;
(2)如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径(如图2所示),请你验证此时∠DAB的度数在第(1)问所求的范围内,并证明:此时点F恰好是DC的一个三等分点.
(1)连接DB,
当F与D重合时,此时CD与圆相切.
∴∠CDB=∠DAB,
∵平行四边形ABCD,
∴CD∥AB,
∴∠CDB=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴△ADB是等腰三角形,底为根号
a,腰为a
∴cos∠DAB=
=
,
∴∠DAB=30°,
即∠DAB的范围为:30°<∠DAB<90°.
(2)∵AB为⊙O的直径,
∴⊙O的半径r=
AB=
a
∵∠ADB=90°,
∴cos∠DAB=
=
=
<
,
∴∠DAB在30°<∠DAB<90°的范围内.
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=
a-2a×
=
a=
AB=
CD,
∴此时点F恰好是DC的一个三等份点.
当F与D重合时,此时CD与圆相切.
∴∠CDB=∠DAB,
∵平行四边形ABCD,
∴CD∥AB,
∴∠CDB=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴△ADB是等腰三角形,底为根号
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∴cos∠DAB=
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a |
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∴∠DAB=30°,
即∠DAB的范围为:30°<∠DAB<90°.
(2)∵AB为⊙O的直径,
∴⊙O的半径r=
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∵∠ADB=90°,
∴cos∠DAB=
AD |
AB |
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∴∠DAB在30°<∠DAB<90°的范围内.
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=
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∴此时点F恰好是DC的一个三等份点.
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