题目内容

(本题10分) 
已知一次函数y=的图象与x轴交于点A.与轴交于点;二次函数图象与一次函数y=的图象交于两点,与轴交于两点且的坐标为

(1)求二次函数的解析式;
(2)在轴上是否存在点P,使得△是直角三角形?若存在,求出所有的点,若不存在,请说明理由。

(1)
(2)满足条件的点P有四个,分别是(1,0)(3,0)(0.5,0) (5.5,0)
解:(1)∵ 由题意知:当x=0时,y="1," ∴B(0,1), …………1分
点的坐标为当x=1时, y=0
解得,…………3分
所以     …………4分
(2)存在;设P(a,0),

①P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,
由题意得,AD=6,OD=1,易知,AD∥BE,
.即,                …………5分
整理得:a2-4a+3=0,解得a=1或a="3, "  此时所求P点坐标为(1,0)或(3,0). …………7分
②若B为直角顶点,则有PB²+BC²=PC²既有   1²+a²+4²+2²=3²+(4-a) ²
解得  a=0.5此时所求P点坐标为(0.5,0)    ……8分
③若C为直角顶点,则有PC²+BC²=PB²既有  3²+(4-a) ² +4²+2²=1²+a²
解得  a=5.5此时所求P点坐标为(5.5,0)    ……9分
综上所述,满足条件的点P有四个,分别是(1,0)(3,0)(0.5,0) (5.5,0)。……10分
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