Question

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；
（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存，请直接作出；不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．
（2）本题须先求出C点的坐标，再根据BC两点关于对称轴x=对称，求出B点的坐标，设A点坐标（m，0），求出m即可得出点A的坐标，最后代入即可求出抛物线解析式．
（3）分三种情况讨论：①以AB为腰且顶角为∠A，②以AB为腰且顶角为角B，③以AB为底，顶角为角P时．
解答：解：（1）y=ax²-5ax+4，
对称轴：x=-=；

（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4），
BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，
又∵BC两点关于对称轴x=对称，
即：=，
x_B=5，
∴B点坐标（5，4）．
A点在x轴上，设A点坐标（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A点坐标（-3，0），
将A点坐标（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-，
故函数关系式为：y=-x²+x+4．

（3）存在符合条件的点P共有3个．如图所示：

点评：此题考查了二次函数的综合应用，主要有用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性．在解题时要注意综合运用数形结合思想，灵活应用二次函数的图象和性质是本题的关键．