题目内容
已知△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于E,交直线AC于点F.(1)当点P在线段AB上时,(如图1)求证:PA•PB=PE•PF.
(2)在图2中画出当点P在线段AB的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.
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分析:(1)欲证 PA•PB=PE•PF,即证
=
.证明线段所在的△PAF与△PEB相似即可.根据弦切角定理有∠PBE=∠C;根据平行线的性质得∠C=∠PFA.所以∠PBE=∠PFA.运用“有两角对应相等的两个三角形相似”得证;
(2)根据题意作图,仿(1)证明.
PA |
PE |
PF |
PB |
(2)根据题意作图,仿(1)证明.
解答:(1)证明:∵BT为切线,BA为弦.
∴∠ABE=∠C,∠APF=∠EPB.
又∵EF∥BC,
∴∠C=∠AFP,∴∠ABE=∠AFP.
∴△APF∽△EPB,
∴
=
,
即PA•PB=PE•PF.
(2)
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结论仍然成立.
证明:∵BT为切线,BC为弦,
∴∠CBE=∠A.
∵PF∥BC,
∴∠CBE=∠PEB.
∴∠PEB=∠A.
又∠EPB=∠APF,
∴△APF∽△EPB,
∴
=
,
即PA•PB=PE•PF.
∴∠ABE=∠C,∠APF=∠EPB.
又∵EF∥BC,
∴∠C=∠AFP,∴∠ABE=∠AFP.
∴△APF∽△EPB,
∴
PA |
PE |
PF |
PB |
即PA•PB=PE•PF.
(2)
![精英家教网](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201112/55/8f8b9f27.png)
结论仍然成立.
证明:∵BT为切线,BC为弦,
∴∠CBE=∠A.
∵PF∥BC,
∴∠CBE=∠PEB.
∴∠PEB=∠A.
又∠EPB=∠APF,
∴△APF∽△EPB,
∴
PA |
PE |
PF |
PB |
即PA•PB=PE•PF.
点评:此题考查弦切角定理和相似三角形的判定与性质,难度中等.证明等积式常变形为比例式,转证线段所在的三角形相似.
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